$\int \log(x+1) dx$ を計算する問題です。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

1. 問題の内容

$\int \log(x+1) dx$ を計算する問題です。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$u = \log(x+1)$, $dv = dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int \log(x+1) dx = x\log(x+1) - \int x \cdot \frac{1}{x+1} dx$

となります。次に、$\int \frac{x}{x+1} dx$ を計算します。

$\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$ と変形できるので、

$\int \frac{x}{x+1} dx = \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{x+1} dx = x - \log|x+1| + C$

したがって、

$\int \log(x+1) dx = x\log(x+1) - (x - \log|x+1|) + C$

$= x\log(x+1) - x + \log|x+1| + C$

$= (x+1)\log(x+1) - x + C$

3. 最終的な答え

$(x+1)\log(x+1) - x + C$