与えられた問題は、$\int (\log x)^2 dx$ の不定積分を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\int (\log x)^2 dx$ の不定積分を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を2回適用することで解くことができます。

ステップ1：部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使います。

$u = (\log x)^2$ と $dv = dx$ と置きます。

すると、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx$

ステップ2：次に、$\int \log x dx$ を計算します。再び部分積分を使います。

$u = \log x$ と $dv = dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log x dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$

$\int \log x dx = x\log x - \int 1 dx$

$\int \log x dx = x\log x - x + C_1$

ステップ3：ステップ1の結果にステップ2の結果を代入します。

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) + C$

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + C$

です。