次の不定積分を求める問題です。 $\int (x + \frac{1}{2}) (x^2 + x + 1)^2 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

$\int (x + \frac{1}{2}) (x^2 + x + 1)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、積分変数を置換します。$t = x^2 + x + 1$ と置くと、$\frac{dt}{dx} = 2x + 1$ となります。

したがって、$dt = (2x + 1) dx = 2(x + \frac{1}{2}) dx$ です。よって、$(x + \frac{1}{2}) dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

積分を書き換えると、

$\int (x + \frac{1}{2}) (x^2 + x + 1)^2 dx = \int t^2 \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^2 dt$

次に、$\int t^2 dt$ を計算します。

$\int t^2 dt = \frac{1}{3} t^3 + C$ (Cは積分定数)

したがって、$\frac{1}{2} \int t^2 dt = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^3 + C) = \frac{1}{6} t^3 + C'$ (C'は積分定数)

最後に、置換した変数を元に戻します。

$\frac{1}{6} t^3 + C' = \frac{1}{6} (x^2 + x + 1)^3 + C'$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6} (x^2 + x + 1)^3 + C$ (Cは積分定数)