関数 $f(x, y) = x^2 + xy$ と, 実数上で微分可能な1変数関数 $x(t), y(t)$ が与えられている。関数 $g(t) = f(x(t), y(t))$ と定義するとき, $x(0), y(0), x'(0), y'(0)$ のうち必要なものを用いて $g'(0)$ を求めよ。

## 問題 8 の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + xy$ と, 実数上で微分可能な1変数関数 $x(t), y(t)$ が与えられている。関数 $g(t) = f(x(t), y(t))$ と定義するとき, $x(0), y(0), x'(0), y'(0)$ のうち必要なものを用いて $g'(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず, $g(t)$ を $x(t)$ と $y(t)$ を用いて具体的に書き下す。

$g(t) = f(x(t), y(t)) = (x(t))^2 + x(t)y(t)$

次に, $g(t)$ を $t$ について微分する。積の微分法則と合成関数の微分法則を用いる。

$g'(t) = \frac{d}{dt}[(x(t))^2 + x(t)y(t)]$

$= 2x(t)x'(t) + x'(t)y(t) + x(t)y'(t)$

最後に, $t=0$ を代入して $g'(0)$ を求める。

$g'(0) = 2x(0)x'(0) + x'(0)y(0) + x(0)y'(0)$

3. 最終的な答え

$g'(0) = 2x(0)x'(0) + x'(0)y(0) + x(0)y'(0)$