$A_1, B_1$ は $m$ 次正方行列、$A_2, B_2$ は $n$ 次正方行列とする。$A_1$ と $B_1$, $A_2$ と $B_2$ が可換である、すなわち $A_1B_1 = B_1A_1$ かつ $A_2B_2 = B_2A_2$ であるとする。このとき、$A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix}$ が可換であること、すなわち $AB = BA$ を示せ。

1. 問題の内容

$A_1, B_1$ は $m$ 次正方行列、$A_2, B_2$ は $n$ 次正方行列とする。$A_1$ と $B_1$, $A_2$ と $B_2$ が可換である、すなわち $A_1B_1 = B_1A_1$ かつ $A_2B_2 = B_2A_2$ であるとする。このとき、$A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix}$ が可換であること、すなわち $AB = BA$ を示せ。

2. 解き方の手順

$AB$ と $BA$ をそれぞれ計算し、それらが等しいことを示す。

まず、$AB$ を計算する。

$$$$

AB = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1B_1 & 0 \\ 0 & A_2B_2 \end{bmatrix}

$$$$

次に、$BA$ を計算する。

$$$$

BA = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1A_1 & 0 \\ 0 & B_2A_2 \end{bmatrix}

$$$$

仮定より、$A_1B_1 = B_1A_1$ かつ $A_2B_2 = B_2A_2$ であるから、

$$$$

\begin{bmatrix} A_1B_1 & 0 \\ 0 & A_2B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1A_1 & 0 \\ 0 & B_2A_2 \end{bmatrix}

$$$$

したがって、$AB = BA$ である。

3. 最終的な答え

$A$ と $B$ は可換である。