$A_1$、$B_1$ は $m$ 次正方行列、$A_2$、$B_2$ は $n$ 次正方行列とします。$A_1$ と $B_1$、$A_2$ と $B_2$ がそれぞれ可換である、すなわち $A_1B_1 = B_1A_1$ かつ $A_2B_2 = B_2A_2$ であるならば、行列 $A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix}$ が可換であること、つまり $AB = BA$ であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$A_1$、$B_1$ は $m$ 次正方行列、$A_2$、$B_2$ は $n$ 次正方行列とします。$A_1$ と $B_1$、$A_2$ と $B_2$ がそれぞれ可換である、すなわち $A_1B_1 = B_1A_1$ かつ $A_2B_2 = B_2A_2$ であるならば、行列 $A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix}$ が可換であること、つまり $AB = BA$ であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$A$ と $B$ の積 $AB$ および $BA$ を計算します。

$A$ と $B$ が可換であるとは $AB = BA$ が成り立つことを意味します。

まず、$AB$ を計算します。

$$$$

AB = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1B_1 & A_1 \cdot 0 + 0 \cdot B_2 \\ 0 \cdot B_1 + A_2 \cdot 0 & A_2B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1B_1 & 0 \\ 0 & A_2B_2 \end{bmatrix}

$$$$

次に、$BA$ を計算します。

$$$$

BA = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1A_1 & B_1 \cdot 0 + 0 \cdot A_2 \\ 0 \cdot A_1 + B_2 \cdot 0 & B_2A_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1A_1 & 0 \\ 0 & B_2A_2 \end{bmatrix}

$$$$

仮定より、$A_1B_1 = B_1A_1$ かつ $A_2B_2 = B_2A_2$ なので、

$$$$

AB = \begin{bmatrix} A_1B_1 & 0 \\ 0 & A_2B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1A_1 & 0 \\ 0 & B_2A_2 \end{bmatrix} = BA

$$$$

したがって、$AB = BA$ が成り立ち、$A$ と $B$ は可換であることが示されました。

3. 最終的な答え

$A_1$ と $B_1$、$A_2$ と $B_2$ が可換ならば、$A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{bmatrix}$ は可換である。