問題8について、ベクトル $\vec{a}=(1,2)$, $\vec{b}=(3,7)$, $\vec{c}=(4,6)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{c}$を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の線形結合で表せ。 (2) $\vec{a}$を $\vec{b}$, $\vec{c}$ の線形結合で表せ。

## 問題の解答

1. 問題の内容

問題8について、ベクトル $\vec{a}=(1,2)$, $\vec{b}=(3,7)$, $\vec{c}=(4,6)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{c}$を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の線形結合で表せ。

(2) $\vec{a}$を $\vec{b}$, $\vec{c}$ の線形結合で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$を $\vec{a}$と$\vec{b}$の線形結合で表す。

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおくと、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s + 3t \\ 2s + 7t \end{pmatrix}$

よって、以下の連立方程式を得る。

$\begin{cases} s + 3t = 4 \\ 2s + 7t = 6 \end{cases}$

一つ目の式を2倍し、二つ目の式から引くと、

$t = -2$

これを一つ目の式に代入すると、

$s + 3(-2) = 4$ より $s = 10$

したがって、

$\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a}$を $\vec{b}$と$\vec{c}$の線形結合で表す。

$\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$とおくと、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = u \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3u + 4v \\ 7u + 6v \end{pmatrix}$

よって、以下の連立方程式を得る。

$\begin{cases} 3u + 4v = 1 \\ 7u + 6v = 2 \end{cases}$

一つ目の式を7倍、二つ目の式を3倍すると、

$\begin{cases} 21u + 28v = 7 \\ 21u + 18v = 6 \end{cases}$

一つ目の式から二つ目の式を引くと、

$10v = 1$ より $v = \frac{1}{10}$

これを一つ目の式に代入すると、

$3u + 4(\frac{1}{10}) = 1$

$3u = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$u = \frac{1}{5}$

したがって、

$\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$