(1) $y = 2x^2$ ($1 \le x < 2$) (2) $y = 2x^2$ ($-1 \le x < 2$)

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1. 問題の内容

与えられた問題を解きます。

1. 次の関数の（）内の定義域に対する値域を求めます。

(1) $y = 2x^2$ ($1 \le x < 2$)

(2) $y = 2x^2$ ($-1 \le x < 2$)

2. 次の条件を満たし、$y$軸に平行な軸をもつ放物線の方程式を求めます。

(1) 頂点の座標が(2,4)で、点(0,1) を通る。

(2) 直線$x=1$を軸とし、2点 (0, -1), (3, -10) を通る。

(3) 3点(0,4), (3, 1), (4, -4) を通る。

3. 次の2次関数の最大値または最小値を求めます。

(1) $y = x(x - 2)$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 2$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 5x + 1$

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2. 解き方の手順

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1. 値域を求める

(1) $y = 2x^2$ ($1 \le x < 2$)

$x$ の範囲が $1 \le x < 2$ なので、$x=1$ のとき $y=2(1)^2 = 2$ となり、$x=2$のとき$y=2(2)^2 = 8$となる。

$y$は増加関数なので、$2 \le y < 8$ となる。

(2) $y = 2x^2$ ($-1 \le x < 2$)

$x$ の範囲が $-1 \le x < 2$ なので、$x=-1$ のとき $y=2(-1)^2 = 2$ となり、$x=2$のとき$y=2(2)^2 = 8$となる。

また、$x=0$のとき、$y=0$となる。

したがって、$0 \le y < 8$ となる。

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2. 放物線の方程式を求める

(1) 頂点の座標が(2,4)で、点(0,1) を通る。

頂点の座標が(2,4)であることから、$y = a(x-2)^2 + 4$ と表せる。

点(0,1)を通るので、$1 = a(0-2)^2 + 4$となり、$1 = 4a + 4$。

$4a = -3$ より、$a = -\frac{3}{4}$ となる。

したがって、$y = -\frac{3}{4}(x-2)^2 + 4$

$y = -\frac{3}{4}(x^2 - 4x + 4) + 4$

$y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x - 3 + 4$

$y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x + 1$

(2) 直線$x=1$を軸とし、2点 (0, -1), (3, -10) を通る。

軸が$x=1$なので、$y = a(x-1)^2 + b$ と表せる。

点(0,-1)を通るので、$-1 = a(0-1)^2 + b$。$-1 = a + b$

点(3,-10)を通るので、$-10 = a(3-1)^2 + b$。$-10 = 4a + b$

連立方程式を解く。

$-1 = a + b$

$-10 = 4a + b$

上の式から下の式を引くと、$9 = -3a$。よって、$a = -3$

$b = -1 - a = -1 - (-3) = 2$

したがって、$y = -3(x-1)^2 + 2$

$y = -3(x^2 - 2x + 1) + 2$

$y = -3x^2 + 6x - 3 + 2$

$y = -3x^2 + 6x - 1$

(3) 3点(0,4), (3, 1), (4, -4) を通る。

$y = ax^2 + bx + c$ とおく。

点(0,4)を通るので、$4 = a(0)^2 + b(0) + c$。よって、$c = 4$

点(3,1)を通るので、$1 = a(3)^2 + b(3) + 4$。$1 = 9a + 3b + 4$。$9a + 3b = -3$。$3a + b = -1$

点(4,-4)を通るので、$-4 = a(4)^2 + b(4) + 4$。$-4 = 16a + 4b + 4$。$16a + 4b = -8$。$4a + b = -2$

連立方程式を解く。

$3a + b = -1$

$4a + b = -2$

下の式から上の式を引くと、$a = -1$

$b = -1 - 3a = -1 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

したがって、$y = -x^2 + 2x + 4$

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3. 最大値または最小値を求める

(1) $y = x(x - 2) = x^2 - 2x$

$y = (x - 1)^2 - 1$

最小値は$x=1$のとき、$y=-1$。最大値はなし。

(2) $y = 2x^2 + 3x + 2$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 2$

$y = 2((x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 2$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 2$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{16 - 9}{8}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}$

最小値は$x=-\frac{3}{4}$のとき、$y=\frac{7}{8}$。最大値はなし。

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 5x + 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 10x) + 1$

$y = -\frac{1}{2}((x + 5)^2 - 25) + 1$

$y = -\frac{1}{2}(x + 5)^2 + \frac{25}{2} + 1$

$y = -\frac{1}{2}(x + 5)^2 + \frac{27}{2}$

最大値は$x=-5$のとき、$y=\frac{27}{2}$。最小値はなし。

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3. 最終的な答え

1. (1) $2 \le y < 8$

(2) $0 \le y < 8$

2. (1) $y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x + 1$

(2) $y = -3x^2 + 6x - 1$

(3) $y = -x^2 + 2x + 4$

3. (1) 最小値: -1

(2) 最小値: $\frac{7}{8}$

(3) 最大値: $\frac{27}{2}$