与えられた関数 $2+3t+\frac{1}{48}t^6+2\sin{4t}$ のラプラス変換を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $2+3t+\frac{1}{48}t^6+2\sin{4t}$ のラプラス変換を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

ラプラス変換の線形性より、各項ごとにラプラス変換を計算し、それらを足し合わせます。

* 定数のラプラス変換: $L[a] = \frac{a}{s}$

* $t^n$ のラプラス変換: $L[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}}$

* $\sin(at)$ のラプラス変換: $L[\sin(at)] = \frac{a}{s^2 + a^2}$

各項のラプラス変換は以下のようになります。

* $L[2] = \frac{2}{s}$

* $L[3t] = 3L[t] = 3 \cdot \frac{1!}{s^{1+1}} = \frac{3}{s^2}$

* $L[\frac{1}{48}t^6] = \frac{1}{48}L[t^6] = \frac{1}{48} \cdot \frac{6!}{s^{6+1}} = \frac{1}{48} \cdot \frac{720}{s^7} = \frac{15}{s^7}$

* $L[2\sin(4t)] = 2L[\sin(4t)] = 2 \cdot \frac{4}{s^2 + 4^2} = \frac{8}{s^2 + 16}$

したがって、全体のラプラス変換は

$\frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{15}{s^7} + \frac{8}{s^2 + 16}$

となります。

3. 最終的な答え

選択肢2が正しいです。

$\frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{15}{s^7} + \frac{8}{s^2 + 16}$