2次方程式 $x^2 - 2x + 1 = k(x-3)$ が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 1 = k(x-3)$ が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形して整理します。

$x^2 - 2x + 1 = k(x-3)$

$x^2 - 2x + 1 = kx - 3k$

$x^2 - 2x - kx + 1 + 3k = 0$

$x^2 - (2+k)x + (1+3k) = 0$

この2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が $D = 0$ となる必要があります。

判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この場合、$a=1$, $b=-(2+k)$, $c=(1+3k)$ なので、

$D = (-(2+k))^2 - 4(1)(1+3k) = 0$

$(2+k)^2 - 4(1+3k) = 0$

$4 + 4k + k^2 - 4 - 12k = 0$

$k^2 - 8k = 0$

$k(k-8) = 0$

したがって、$k = 0$ または $k = 8$ となります。

次に、それぞれの $k$ の値に対して重解を求めます。

(i) $k=0$ のとき:

$x^2 - (2+0)x + (1+3(0)) = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$ (重解)

(ii) $k=8$ のとき:

$x^2 - (2+8)x + (1+3(8)) = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0$

$x = 5$ (重解)

3. 最終的な答え

$k=0$ のとき、重解は $x=1$

$k=8$ のとき、重解は $x=5$