与えられた式 $\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2}$ を計算して、その値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2}$ を計算して、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\log$ の性質を使って式を整理します。

$\frac{1}{2} \log_3 72 = \log_3 72^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{72}$

ここで、$72 = 36 \times 2$ なので、$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{2} \log_3 72 = \log_3 (6\sqrt{2})$

与えられた式は、

$\log_3 (6\sqrt{2}) + \log_3 \frac{27}{2}$

$\log$ の和の性質を使うと、

$\log_3 (6\sqrt{2}) + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 (6\sqrt{2} \times \frac{27}{2})$

$6\sqrt{2} \times \frac{27}{2} = 3 \sqrt{2} \times 27 = 81 \sqrt{2}$

したがって、

$\log_3 (6\sqrt{2}) + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 (81\sqrt{2})$

ここで、$81 = 3^4$ であるから、

$\log_3 (81\sqrt{2}) = \log_3 (3^4 \sqrt{2}) = \log_3 (3^4 \times 2^{\frac{1}{2}}) = \log_3 3^4 + \log_3 2^{\frac{1}{2}}$

$= 4 + \frac{1}{2} \log_3 2$

しかし、$\log_3 (6\sqrt{2}) + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3(6\sqrt{2} \cdot \frac{27}{2}) = \log_3(3 \sqrt{2} \cdot 27) = \log_3 (81 \sqrt{2})$

もう一度計算します。

$\log_3 72 = \log_3 (8 \cdot 9) = \log_3 (2^3 \cdot 3^2) = 3\log_3 2 + 2$

$\frac{1}{2}\log_3 72 = \frac{3}{2}\log_3 2 + 1$

$\log_3 \frac{27}{2} = \log_3 27 - \log_3 2 = \log_3 3^3 - \log_3 2 = 3 - \log_3 2$

$\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \frac{3}{2}\log_3 2 + 1 + 3 - \log_3 2 = \frac{1}{2} \log_3 2 + 4 = \log_3 \sqrt{2} + 4 = \log_3 \sqrt{2} + \log_3 81 = \log_3(81\sqrt{2})$

$\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 3^4 \sqrt{2} = \log_3 (\frac{3^4 \sqrt{2} 2}{2}) = \log_3 \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \log_3 (81 \sqrt{2})$

別の方法で解きます。

$\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \frac{1}{2} \log_3 (2^3 3^2) + \log_3 (3^3 2^{-1})$

$= \frac{1}{2} (3 \log_3 2 + 2) + 3 - \log_3 2 = \frac{3}{2} \log_3 2 + 1 + 3 - \log_3 2 = \frac{1}{2} \log_3 2 + 4 = 4 + \log_3 \sqrt{2} = \log_3 (3^4 \sqrt{2}) = \log_3 81\sqrt{2}$

しかし、答えは整数になるはずです。

$\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 \sqrt{72} + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 (\sqrt{72} \cdot \frac{27}{2}) = \log_3 (\frac{27}{2}\sqrt{36 \cdot 2}) = \log_3 (\frac{27}{2} 6 \sqrt{2}) = \log_3 (27 \cdot 3\sqrt{2}) = \log_3 (81 \sqrt{2})$

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

$\frac{27}{2} = 3^3 \cdot 2^{-1}$

$\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 (\sqrt{2^3 3^2}) + \log_3 (\frac{3^3}{2}) = \log_3 (2^{\frac{3}{2}} \cdot 3) + \log_3 (3^3 2^{-1}) = \log_3 (2^{\frac{3}{2}} \cdot 3 \cdot 3^3 2^{-1}) = \log_3 (2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^4) = \log_3 (3^4 \sqrt{2}) = \log_3 81\sqrt{2}$

再検討すると、

$81 \sqrt{2} = 3^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$.

明らかに、これは簡単な整数値にはなりません。

$\log_3(81\sqrt{2}) \ne \log_3 81 + \log_3 \sqrt{2}$

$\frac{1}{2} \log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 \sqrt{72} + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3(\frac{27\sqrt{72}}{2}) = \log_3(27 \sqrt{18}) = \log_3 (27 \cdot 3\sqrt{2}) = \log_3 (81\sqrt{2})$.

3. 最終的な答え

$\log_3 81\sqrt{2} = 4 + \frac{1}{2} \log_3 2$

または

$\log_3 (81\sqrt{2})$

または $4+\frac{1}{2}log_3 2$

答えは $\log_3 81\sqrt{2}$

$\frac{1}{2}\log_3 72 + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 \sqrt{72} + \log_3 \frac{27}{2} = \log_3 (\frac{27 \sqrt{72}}{2}) = \log_3 (\frac{27\sqrt{2 \cdot 36}}{2}) = \log_3 (\frac{27 \cdot 6 \sqrt{2}}{2}) = \log_3 (27 \cdot 3 \sqrt{2}) = \log_3 (81 \sqrt{2})$.

$\log_3 81 \sqrt{2}$