与えられた非斉次連立1次方程式の拡大係数行列を求め、それを簡約行列に変形し、解の有無を判定し、解が存在する場合は解を求める問題です。 連立一次方程式は $\begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 9 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた非斉次連立1次方程式の拡大係数行列を求め、それを簡約行列に変形し、解の有無を判定し、解が存在する場合は解を求める問題です。

連立一次方程式は

$\begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 9 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を求める。

与えられた連立一次方程式の係数と定数項から、拡大係数行列を作成します。

(2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。

拡大係数行列を行基本変形を用いて簡約行列に変形します。簡約行列とは、

* すべての行がゼロである行は、行列の一番下に配置される。

* 各行の最初の非ゼロエントリ（先行係数、またはピボット）は1である。

* 各行の先行係数の列には、そのエントリ以外のすべてのエントリはゼロである。

* 各行のピボットは、上の行のピボットよりも右にある。

(3) 解の有無を判定し、解が存在する場合は解を求める。

簡約行列から、連立一次方程式の解の有無を判定します。解が存在する場合、解をパラメータ表示で求めます。

3. 最終的な答え

(1) 拡大係数行列:

$\begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 & 4 \\ -3 & 2 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) 簡約行列:

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 9 & 11 \\ -4 & 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

次に、2行目に1行目の3倍を加えます。3行目に1行目の4倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 15 & 20 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \end{pmatrix}$

次に、2行目を5で割ります。3行目を4で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目を引きます。3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 解の有無と解:

簡約行列から、連立一次方程式は無限個の解を持つことがわかります。

$x_1 - x_3 = -1$

$x_2 + 3x_3 = 4$

$x_3 = s$とすると、

$x_1 = s - 1$

$x_2 = 4 - 3s$

したがって、解は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

解の有無: 解が存在する

解:

$x_1 = s - 1$

$x_2 = 4 - 3s$

$x_3 = s$

(sは任意の実数)