ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$、$\vec{b} = (3, 7)$、$\vec{c} = (4, 6)$ が与えられているとき、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表します。 (2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表します。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$、$\vec{b} = (3, 7)$、$\vec{c} = (4, 6)$ が与えられているとき、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表します。

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表します。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となるような実数 $s, t$ を求めます。

成分で表すと、

$(4, 6) = s(1, 2) + t(3, 7)$

$(4, 6) = (s + 3t, 2s + 7t)$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$s + 3t = 4$

$2s + 7t = 6$

一つ目の式を2倍して二つ目の式から引くと、

$(2s + 7t) - 2(s + 3t) = 6 - 2(4)$

$2s + 7t - 2s - 6t = 6 - 8$

$t = -2$

$s + 3(-2) = 4$

$s - 6 = 4$

$s = 10$

よって、$\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$ となります。

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表す。

$\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$ となるような実数 $u, v$ を求めます。

成分で表すと、

$(1, 2) = u(3, 7) + v(4, 6)$

$(1, 2) = (3u + 4v, 7u + 6v)$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$3u + 4v = 1$

$7u + 6v = 2$

一つ目の式を7倍、二つ目の式を3倍して引き算すると、

$7(3u + 4v) - 3(7u + 6v) = 7(1) - 3(2)$

$21u + 28v - 21u - 18v = 7 - 6$

$10v = 1$

$v = \frac{1}{10}$

$3u + 4(\frac{1}{10}) = 1$

$3u + \frac{2}{5} = 1$

$3u = \frac{3}{5}$

$u = \frac{1}{5}$

よって、$\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$