広義積分 $\iint_D e^{y/x} dxdy$ を求めます。ただし、積分領域 $D$ は $D = \{(x, y); 0 < x \leq 1, 0 \leq y \leq x^2\}$ です。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題の中から、(1)の問題を解いてみましょう。

1. 問題の内容

広義積分 $\iint_D e^{y/x} dxdy$ を求めます。ただし、積分領域 $D$ は $D = \{(x, y); 0 < x \leq 1, 0 \leq y \leq x^2\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を確認します。$D$ は $x$ が 0 より大きく 1 以下、かつ $y$ が 0 以上 $x^2$ 以下という範囲です。

広義積分なので、まずは $x$ に関する積分を計算し、その後 $y$ に関する積分を計算します。積分順序は $y$ から $x$ の順で行います。

よって、積分は以下のようになります。

$\int_0^1 \left( \int_0^{x^2} e^{y/x} dy \right) dx$

内側の積分を計算します。

$\int_0^{x^2} e^{y/x} dy = \left[ x e^{y/x} \right]_0^{x^2} = x e^{x^2/x} - x e^{0/x} = x e^x - x$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^1 (x e^x - x) dx = \int_0^1 x e^x dx - \int_0^1 x dx$

部分積分を使って $\int_0^1 x e^x dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となり、

$\int_0^1 x e^x dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - \left[ e^x \right]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

$\int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_0^1 (x e^x - x) dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\iint_D e^{y/x} dxdy = \frac{1}{2}$