連続関数 $f(x)$ に対して、以下の導関数を求める問題です。 (1) $\frac{d}{dx} \int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) \, dt$ (2) $\frac{d^2}{dx^2} \int_{0}^{x} (x-t) f(t) \, dt$

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ に対して、以下の導関数を求める問題です。

(1) $\frac{d}{dx} \int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) \, dt$

(2) $\frac{d^2}{dx^2} \int_{0}^{x} (x-t) f(t) \, dt$

2. 解き方の手順

(1) ライプニッツの積分公式を用いる。

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

この公式を適用すると、

$a(x) = 1 - x^2$, $b(x) = 1 + x^2$なので、

$a'(x) = -2x$, $b'(x) = 2x$

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) \, dt = f(1+x^2)(2x) - f(1-x^2)(-2x) = 2x[f(1+x^2) + f(1-x^2)]$

(2) まず、積分の中身を展開し、一度微分する。

$\int_{0}^{x} (x-t) f(t) \, dt = \int_{0}^{x} xf(t) \, dt - \int_{0}^{x} tf(t) \, dt = x\int_{0}^{x} f(t) \, dt - \int_{0}^{x} tf(t) \, dt$

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} (x-t) f(t) \, dt = \frac{d}{dx} \left[ x\int_{0}^{x} f(t) \, dt - \int_{0}^{x} tf(t) \, dt \right] = \int_{0}^{x} f(t) \, dt + xf(x) - xf(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$

次に、もう一度微分する。

$\frac{d^2}{dx^2} \int_{0}^{x} (x-t) f(t) \, dt = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t) \, dt = f(x)$

3. 最終的な答え

(1) $2x[f(1+x^2) + f(1-x^2)]$

(2) $f(x)$