2つの曲線 $y = \sqrt{3} \sin x$ と $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \sqrt{3} \sin x$ と $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\sqrt{3} \sin x = \cos x$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{6}$ と $x = \frac{7\pi}{6}$ です。

次に、積分範囲を分けて、それぞれの区間でどちらの関数が大きいかを確認します。

$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ では、$\cos x \ge \sqrt{3}\sin x$ です。

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6}$ では、$\sqrt{3}\sin x \ge \cos x$ です。

$\frac{7\pi}{6} \le x \le 2\pi$ では、$\cos x \ge \sqrt{3}\sin x$ です。

したがって、求める面積 $S$ は、次の積分で表されます。

$S = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (\cos x - \sqrt{3}\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} (\sqrt{3}\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{7\pi}{6}}^{2\pi} (\cos x - \sqrt{3}\sin x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int (\cos x - \sqrt{3}\sin x) dx = \sin x + \sqrt{3}\cos x + C$

$\int (\sqrt{3}\sin x - \cos x) dx = -\sqrt{3}\cos x - \sin x + C$

$S = [\sin x + \sqrt{3}\cos x]_0^{\frac{\pi}{6}} + [-\sqrt{3}\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} + [\sin x + \sqrt{3}\cos x]_{\frac{7\pi}{6}}^{2\pi}$

$S = (\sin \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{6} - (\sin 0 + \sqrt{3}\cos 0)) + (-\sqrt{3}\cos \frac{7\pi}{6} - \sin \frac{7\pi}{6} - (-\sqrt{3}\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6})) + (\sin 2\pi + \sqrt{3}\cos 2\pi - (\sin \frac{7\pi}{6} + \sqrt{3}\cos \frac{7\pi}{6}))$

$S = (\frac{1}{2} + \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (0 + \sqrt{3})) + (-\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{1}{2}) - (-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})) + (0 + \sqrt{3}\cdot 1 - (-\frac{1}{2} + \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2})))$

$S = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \sqrt{3}) + (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}) + (\sqrt{3} - (-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}))$

$S = (2 - \sqrt{3}) + (4) + (\sqrt{3} - (-2))$

$S = 2 - \sqrt{3} + 4 + \sqrt{3} + 2 = 8$

3. 最終的な答え

8