与えられたラプラス逆変換 $L^{-1}\left[\frac{25}{(s-1)(s+4)^2}\right]$ を計算し、選択肢の中から正しい答えを選びます。

1. 問題の内容

与えられたラプラス逆変換 $L^{-1}\left[\frac{25}{(s-1)(s+4)^2}\right]$ を計算し、選択肢の中から正しい答えを選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を部分分数分解します。

$\frac{25}{(s-1)(s+4)^2} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+4} + \frac{C}{(s+4)^2}$

両辺に $(s-1)(s+4)^2$ をかけると、

$25 = A(s+4)^2 + B(s-1)(s+4) + C(s-1)$

$s=1$ を代入すると、

$25 = A(1+4)^2 = 25A$

$A = 1$

$s=-4$ を代入すると、

$25 = C(-4-1) = -5C$

$C = -5$

$s=0$ を代入すると、

$25 = A(4)^2 + B(-1)(4) + C(-1)$

$25 = 16 - 4B + 5$

$4B = -4$

$B = -1$

したがって、

$\frac{25}{(s-1)(s+4)^2} = \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s+4} - \frac{5}{(s+4)^2}$

ラプラス逆変換をすると、

$L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right] = e^t$

$L^{-1}\left[\frac{1}{s+4}\right] = e^{-4t}$

$L^{-1}\left[\frac{5}{(s+4)^2}\right] = 5te^{-4t}$

よって、

$L^{-1}\left[\frac{25}{(s-1)(s+4)^2}\right] = e^t - e^{-4t} - 5te^{-4t}$

3. 最終的な答え

$e^t - e^{-4t} - 5te^{-4t}$

選択肢4が正解です。