問題4は、ベクトル $\vec{a} = (1, -2, -3)$ と $\vec{b} = (2, 3, 1)$ が与えられたとき、連立方程式 $3\vec{x} + \vec{y} = \vec{a}$ と $5\vec{x} + 2\vec{y} = \vec{b}$ を満たすベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ の成分表示を求める問題です。

1. 問題の内容

問題4は、ベクトル $\vec{a} = (1, -2, -3)$ と $\vec{b} = (2, 3, 1)$ が与えられたとき、連立方程式 $3\vec{x} + \vec{y} = \vec{a}$ と $5\vec{x} + 2\vec{y} = \vec{b}$ を満たすベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ の成分表示を求める問題です。

2. 解き方の手順

連立方程式を解くために、まず一方のベクトル（例えば$\vec{y}$）を消去します。

1つ目の式 $3\vec{x} + \vec{y} = \vec{a}$ から、$\vec{y} = \vec{a} - 3\vec{x}$ となります。

これを2つ目の式 $5\vec{x} + 2\vec{y} = \vec{b}$ に代入します。

$5\vec{x} + 2(\vec{a} - 3\vec{x}) = \vec{b}$

$5\vec{x} + 2\vec{a} - 6\vec{x} = \vec{b}$

$-\vec{x} = \vec{b} - 2\vec{a}$

$\vec{x} = 2\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$の値を代入します。

$\vec{x} = 2(1, -2, -3) - (2, 3, 1)$

$\vec{x} = (2, -4, -6) - (2, 3, 1)$

$\vec{x} = (0, -7, -7)$

次に、$\vec{y}$を求めます。

$\vec{y} = \vec{a} - 3\vec{x}$

$\vec{y} = (1, -2, -3) - 3(0, -7, -7)$

$\vec{y} = (1, -2, -3) - (0, -21, -21)$

$\vec{y} = (1, 19, 18)$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = (0, -7, -7)$

$\vec{y} = (1, 19, 18)$