与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

1 & 0 & -1 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法が考えられますが、ここでは余因子展開を利用します。

第1行に着目すると、0でない要素は第2列の1のみです。したがって、第1行に関する余因子展開を行うと、

$$

\det(A) = (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \det(A_{12})

$$

ここで、$A_{12}$は元の行列から第1行と第2列を取り除いた3x3行列です。

$$

A_{12} = \begin{pmatrix}

0 & -3 & 0 \\

1 & -1 & -3 \\

1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

次に、$A_{12}$の行列式を計算します。第3行に着目すると、0でない要素は第1列の1のみです。したがって、第3行に関する余因子展開を行うと、

$$

\det(A_{12}) = (-1)^{3+1} \cdot 1 \cdot \det(A_{12,31})

$$

ここで、$A_{12,31}$は$A_{12}$から第3行と第1列を取り除いた2x2行列です。

$$

A_{12,31} = \begin{pmatrix}

-3 & 0 \\

-1 & -3

\end{pmatrix}

$$

$A_{12,31}$の行列式は、

$$

\det(A_{12,31}) = (-3) \cdot (-3) - 0 \cdot (-1) = 9

$$

したがって、$\det(A_{12}) = 1 \cdot 9 = 9$

元の行列の行列式は、

$\det(A) = (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \det(A_{12}) = -1 \cdot 9 = -9$

3. 最終的な答え

-9