与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

1 & 0 & -1 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず1行目で展開します。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

1 & 0 & -1 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = C_{12}

$$

ここで、$C_{12}$ は (1,2) 成分の余因子であり、$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}$ です。$M_{12}$ は (1,2) 成分に対応する小行列式です。

$$

M_{12} = \begin{vmatrix}

0 & -3 & 0 \\

1 & -1 & -3 \\

1 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

この3x3行列式を計算するために、3行目で展開します。

$$

M_{12} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} - 0 + 0 = (-3)(-3) - (0)(-1) = 9

$$

したがって、$C_{12} = -M_{12} = -9$です。

よって、元の行列式は

$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

1 & 0 & -1 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 0

\end{vmatrix} = -9

$$

3. 最終的な答え

-9