与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\

-2 & 0 & 2 & 0 & -3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -2 & 2 & 3 \\

-3 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかのステップで計算します。

まず、5行目に注目すると、非ゼロ要素が最初の要素のみであることに気づきます。そこで、5行目に関して余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\

-2 & 0 & 2 & 0 & -3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -2 & 2 & 3 \\

-3 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix} = (-3) \cdot (-1)^{5+1} \cdot

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 0 & -3 \\

2 & 0 & 0 & 0 \\

3 & -2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目に関して余因子展開を行うと、以下のようになります。

$$

(-3) \cdot \begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 0 & -3 \\

2 & 0 & 0 & 0 \\

3 & -2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

= (-3) \cdot (2) \cdot (-1)^{3+1} \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

2 & 0 & -3 \\

-2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目に関して余因子展開を行うと、以下のようになります。

$$

(-3)(2) \cdot \begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

2 & 0 & -3 \\

-2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

= (-6) \cdot (1) \cdot (-1)^{1+3} \cdot

\begin{vmatrix}

2 & 0 \\

-2 & 2

\end{vmatrix}

$$

2x2行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 \\

-2 & 2

\end{vmatrix} = (2)(2) - (0)(-2) = 4

$$

最後に、すべての要素を掛け合わせます。

$(-6)(1)(4) = -24$

3. 最終的な答え

-24