与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\

-2 & 0 & 2 & 0 & -3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -2 & 2 & 3 \\

-3 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、5行目に注目します。5行目にはゼロでない要素が一つしかありません。それは1列目の-3です。したがって、5行目に関して余因子展開を行うと、次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\

-2 & 0 & 2 & 0 & -3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 3 & -2 & 2 & 3 \\

-3 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= (-1)^{5+1} (-3)

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 0 & -3 \\

2 & 0 & 0 & 0 \\

3 & -2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

= -3

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 0 & -3 \\

2 & 0 & 0 & 0 \\

3 & -2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目に注目します。3行目にはゼロでない要素が一つしかありません。それは1列目の2です。したがって、3行目に関して余因子展開を行うと、次のようになります。

$$

-3

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 0 & -3 \\

2 & 0 & 0 & 0 \\

3 & -2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

= -3 (-1)^{3+1} 2

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

2 & 0 & -3 \\

-2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

= -6

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

2 & 0 & -3 \\

-2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目に注目します。1行目にはゼロでない要素が一つしかありません。それは3列目の1です。したがって、1行目に関して余因子展開を行うと、次のようになります。

$$

-6

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

2 & 0 & -3 \\

-2 & 2 & 3

\end{vmatrix}

= -6 (-1)^{1+3} 1

\begin{vmatrix}

2 & 0 \\

-2 & 2

\end{vmatrix}

= -6 (2*2 - 0*(-2)) = -6 * 4 = -24

$$

3. 最終的な答え

-24