## 問題の内容

## 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とします。$\alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{c}{a}$ を求めよ。

(2) $a=2$ のとき、もとの2次方程式を求めよ。

## 解き方の手順

**(1) $\frac{c}{a}$ を求める**

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ のとき、解と係数の関係より、以下の関係が成り立ちます。

* $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

* $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回求めたいのは $\frac{c}{a}$ なので、$\alpha \beta$ を計算します。

$\alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\alpha \beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{2} = \frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{4} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

**(2) $a=2$ のとき、もとの2次方程式を求める**

$a=2$ のとき、$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$ より、$c = a \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

また、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ なので、$\alpha + \beta$ を計算します。

$\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1-\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

よって、$1 = -\frac{b}{2}$ となり、$b = -2$

したがって、$a=2$, $b=-2$, $c=-1$ なので、求める2次方程式は $2x^2 - 2x - 1 = 0$

## 最終的な答え

(1) $\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

(2) $2x^2 - 2x - 1 = 0$