与えられた微分方程式 $x'(t) + 5x(t) = e^{-5t}$ と初期条件 $x(0) = 2$ を満たす解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x'(t) + 5x(t) = e^{-5t}$ と初期条件 $x(0) = 2$ を満たす解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式は1階線形微分方程式です。この方程式を解くために、積分因子を求めます。積分因子 $\mu(t)$ は、以下の式で計算されます。

$\mu(t) = e^{\int 5 dt} = e^{5t}$

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^{5t} x'(t) + 5e^{5t} x(t) = e^{5t} e^{-5t}$

$e^{5t} x'(t) + 5e^{5t} x(t) = 1$

左辺は $(e^{5t} x(t))'$ と書き換えることができます。

$(e^{5t} x(t))' = 1$

両辺を $t$ で積分します。

$\int (e^{5t} x(t))' dt = \int 1 dt$

$e^{5t} x(t) = t + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$x(t)$ について解くと、

$x(t) = e^{-5t} (t + C)$

$x(t) = te^{-5t} + Ce^{-5t}$

初期条件 $x(0) = 2$ を代入して、$C$ を求めます。

$x(0) = 0 \cdot e^{-5(0)} + C e^{-5(0)} = 2$

$0 + C \cdot 1 = 2$

$C = 2$

したがって、解は

$x(t) = te^{-5t} + 2e^{-5t}$

3. 最終的な答え

$x = te^{-5t} + 2e^{-5t}$

選択肢1が正解です。