$z = x^2 + y^3$, $x = 3t^2 + 2t + 1$, $y = -2t - 3$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の練習問題のうち、問題2を解きます。

1. 問題の内容

$z = x^2 + y^3$, $x = 3t^2 + 2t + 1$, $y = -2t - 3$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。$z$ は $x$ と $y$ の関数であり、$x$ と $y$ は $t$ の関数であるので、連鎖律より、

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

まず、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2$

$\frac{dx}{dt} = 6t + 2$

$\frac{dy}{dt} = -2$

これらを $\frac{dz}{dt}$ の式に代入します。

$\frac{dz}{dt} = (2x)(6t+2) + (3y^2)(-2)$

$\frac{dz}{dt} = 2x(6t+2) - 6y^2$

$x = 3t^2 + 2t + 1$ と $y = -2t - 3$ を代入して、$t$ の関数として表します。

$\frac{dz}{dt} = 2(3t^2 + 2t + 1)(6t+2) - 6(-2t-3)^2$

$\frac{dz}{dt} = (6t^2 + 4t + 2)(6t+2) - 6(4t^2 + 12t + 9)$

$\frac{dz}{dt} = 36t^3 + 12t^2 + 24t^2 + 8t + 12t + 4 - 24t^2 - 72t - 54$

$\frac{dz}{dt} = 36t^3 + 12t^2 + 8t + 12t + 4 - 72t - 54$

$\frac{dz}{dt} = 36t^3 + 12t^2 - 52t - 50$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = 36t^3 + 12t^2 - 52t - 50$