ベクトル $\mathbf{a}$ が、ベクトル $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せるかどうかを調べ、表せる場合は線形結合で表す問題です。 (1) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a}$ が、ベクトル $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せるかどうかを調べ、表せる場合は線形結合で表す問題です。

(1) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$\mathbf{a}$ が $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せると仮定すると、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

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\mathbf{a} = c_1\mathbf{b_1} + c_2\mathbf{b_2}

$$$$

が成り立つ。これを成分で表すと、

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\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

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これは、以下の連立方程式に帰着する。

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\begin{cases}

3c_1 + c_2 = -2 \\

-c_1 + c_2 = 1

\end{cases}

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第2式から $c_2 = c_1 + 1$ を得て、これを第1式に代入すると、

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3c_1 + (c_1 + 1) = -2

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4c_1 = -3

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c_1 = -\frac{3}{4}

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したがって、

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c_2 = c_1 + 1 = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}

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よって、$\mathbf{a}$ は $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せる。

(2)

$\mathbf{a}$ が $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せると仮定すると、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$$$$

\mathbf{a} = c_1\mathbf{b_1} + c_2\mathbf{b_2}

$$$$

が成り立つ。これを成分で表すと、

$$$$

\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}

$$$$

これは、以下の連立方程式に帰着する。

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\begin{cases}

c_1 + 2c_2 = 1 \\

3c_1 + 3c_2 = 2 \\

c_2 = 1

\end{cases}

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第3式から $c_2 = 1$ を得て、これを第1式に代入すると、

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c_1 + 2(1) = 1

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c_1 = -1

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$c_1 = -1$ と $c_2 = 1$ を第2式に代入すると、

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3(-1) + 3(1) = 0 \neq 2

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したがって、連立方程式の解が存在しないため、$\mathbf{a}$ は $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せない。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} = -\frac{3}{4}\mathbf{b_1} + \frac{1}{4}\mathbf{b_2}$

(2) $\mathbf{a}$ は $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の線形結合で表せない。