与えられた関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) $x$ の値が0から4まで増加するときの変化の割合を求める。 (2) 関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に、3点O, A, Bとは異なる点Pをとり、三角形OABと三角形PABの面積が等しくなるような点Pが何個あるかを求める。ただし、点Aの$x$座標は-2, 点Bの$x$座標は4とする。 (3) $x$軸上に点Qをとり、AQ+BQの長さが最も短くなるようにするとき、点Qの$x$座標を求める。ただし、点Aの$x$座標は-2, 点Bの$x$座標は4とする。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ について、以下の3つの問いに答えます。

(1) $x$ の値が0から4まで増加するときの変化の割合を求める。

(2) 関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に、3点O, A, Bとは異なる点Pをとり、三角形OABと三角形PABの面積が等しくなるような点Pが何個あるかを求める。ただし、点Aの$x$座標は-2, 点Bの$x$座標は4とする。

(3) $x$軸上に点Qをとり、AQ+BQの長さが最も短くなるようにするとき、点Qの$x$座標を求める。ただし、点Aの$x$座標は-2, 点Bの$x$座標は4とする。

2. 解き方の手順

(1) 変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。

まず、$x = 0$ のときの $y$ の値を求めます。$y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$

次に、$x = 4$ のときの $y$ の値を求めます。$y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

したがって、変化の割合は $\frac{8 - 0}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$

(2) 三角形OABと三角形PABの面積が等しくなる条件は、点Pが直線ABと平行な直線上に存在することです。放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線ABが異なる2点で交わっているので、直線ABと平行な直線は、点Oを通る直線ABに平行な直線（線分ABの中点を通る直線）と、それより放物線の頂点から遠い位置にある直線は放物線と2点で交わることになります。

点Aの座標は $(-2, 2)$、点Bの座標は $(4, 8)$ です。

直線ABの傾きは $\frac{8 - 2}{4 - (-2)} = \frac{6}{6} = 1$ です。

直線ABの方程式は $y - 2 = 1(x - (-2))$、つまり $y = x + 4$ です。

線分ABの中点の座標は $(\frac{-2+4}{2}, \frac{2+8}{2}) = (1, 5)$

したがって、直線ABに平行で原点Oを通る直線と、放物線は原点のみで交わります。

よって、条件を満たす点Pは2個あります。

(3) 点Bの$x$軸に関する対称点をB'とすると、B'の座標は $(4, -8)$ です。

AQ+BQ が最小になるのは、点Qが線分AB'上にあるときです。

直線AB'の方程式を求めます。

2点A(-2, 2), B'(4, -8) を通る直線の傾きは $\frac{-8-2}{4-(-2)} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

直線AB'の方程式は $y - 2 = -\frac{5}{3}(x - (-2))$、つまり $y = -\frac{5}{3}x - \frac{4}{3}$ です。

点Qは$x$軸上にあるので、$y = 0$ を代入すると $0 = -\frac{5}{3}x - \frac{4}{3}$

$\frac{5}{3}x = -\frac{4}{3}$ より $x = -\frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2個

(3) $-\frac{4}{5}$