放物線 $y = 4x^2 - 4kx + 5k^2 + 19k - 4$ が $x$ 軸の正の部分と負の部分で交わるような $k$ の範囲を求める。さらに、$k$ がその範囲で動くとき、放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さの最大値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4x^2 - 4kx + 5k^2 + 19k - 4$ が $x$ 軸の正の部分と負の部分で交わるような $k$ の範囲を求める。さらに、$k$ がその範囲で動くとき、放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さの最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸と正と負の部分で交わるという条件から、$y = 4x^2 - 4kx + 5k^2 + 19k - 4$ の $x=0$ での $y$ 座標が負になることを利用する。つまり、

$4(0)^2 - 4k(0) + 5k^2 + 19k - 4 < 0$

$5k^2 + 19k - 4 < 0$

$(5k - 1)(k + 4) < 0$

$-4 < k < \frac{1}{5}$

次に、$y=0$ となる $x$ を求める。

$4x^2 - 4kx + 5k^2 + 19k - 4 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{4k \pm \sqrt{(-4k)^2 - 4(4)(5k^2 + 19k - 4)}}{2(4)}$

$x = \frac{4k \pm \sqrt{16k^2 - 80k^2 - 304k + 64}}{8}$

$x = \frac{4k \pm \sqrt{-64k^2 - 304k + 64}}{8}$

$x = \frac{k \pm \sqrt{-4k^2 - 19k + 4}}{2}$

切り取る線分の長さ $L$ は解の差の絶対値なので、

$L = \left| \frac{k + \sqrt{-4k^2 - 19k + 4}}{2} - \frac{k - \sqrt{-4k^2 - 19k + 4}}{2} \right|$

$L = \left| \frac{2\sqrt{-4k^2 - 19k + 4}}{2} \right|$

$L = \sqrt{-4k^2 - 19k + 4}$

$f(k) = -4k^2 - 19k + 4$ とおくと、

$f(k) = -4(k^2 + \frac{19}{4}k) + 4$

$f(k) = -4(k^2 + \frac{19}{4}k + (\frac{19}{8})^2) + 4 + 4(\frac{19}{8})^2$

$f(k) = -4(k + \frac{19}{8})^2 + 4 + \frac{361}{16}$

$f(k) = -4(k + \frac{19}{8})^2 + \frac{64 + 361}{16}$

$f(k) = -4(k + \frac{19}{8})^2 + \frac{425}{16}$

$k$ の範囲は $-4 < k < \frac{1}{5}$ である。

$k = -\frac{19}{8} = -2.375$ は範囲内にある。

$k = -4$ のとき、$f(-4) = -4(16) - 19(-4) + 4 = -64 + 76 + 4 = 16$

$k = \frac{1}{5}$ のとき、$f(\frac{1}{5}) = -4(\frac{1}{25}) - 19(\frac{1}{5}) + 4 = -\frac{4}{25} - \frac{95}{25} + \frac{100}{25} = \frac{1}{25}$

$k = -\frac{19}{8}$ のとき、$f(-\frac{19}{8}) = \frac{425}{16}$

$L = \sqrt{f(k)}$ なので、$f(k)$ が最大となるとき $L$ も最大となる。

$f(k)$ の最大値は $\frac{425}{16}$ なので、$L$ の最大値は $\sqrt{\frac{425}{16}} = \frac{\sqrt{425}}{4} = \frac{5\sqrt{17}}{4}$

3. 最終的な答え

$k$ の範囲は $-4 < k < \frac{1}{5}$

線分の長さの最大値は $\frac{5\sqrt{17}}{4}$