与えられた問題は、$\int \tan^n x \, dx$ を計算することです。ここで、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\int \tan^n x \, dx$ を計算することです。ここで、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

$I_n = \int \tan^n x \, dx$ とします。

まず、$\tan^{n} x$ を $\tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x$ と分解します。すると、積分は

$$I_n = \int \tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x \, dx$$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を用いて、

$$I_n = \int \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$$

$$I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx$$

$$I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - I_{n-2}$$

ここで、$\int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx$ を計算します。$u = \tan x$ とすると、$du = \sec^2 x \, dx$ となります。したがって、

$$\int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx = \int u^{n-2} \, du = \frac{u^{n-1}}{n-1} + C = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} + C$$

よって、

$$I_n = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$$

したがって、

$$\int \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \, dx$$

3. 最終的な答え

$\int \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \, dx$