以下の3つの主張について、正しければ証明を与え、正しくなければ反例を挙げます。 (1) $m \geq n$ とし、$A$ を $m \times n$ 行列とする。$A$ の階数が $n$ に等しいならば、1次方程式系 $Ax=0$ は自明な解のみを持つ。 (2) $x, y \in \mathbb{C}^n$ に対して $||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ が成り立つならば、$\langle x, y \rangle = 0$ である。 (3) $n$ 次正方行列 $P$ がエルミート行列ならば、任意の $x \in \mathbb{C}^n$ に対して $\langle x, Px \rangle$ は実数である。

1. 問題の内容

以下の3つの主張について、正しければ証明を与え、正しくなければ反例を挙げます。

(1) $m \geq n$ とし、$A$ を $m \times n$ 行列とする。$A$ の階数が $n$ に等しいならば、1次方程式系 $Ax=0$ は自明な解のみを持つ。

(2) $x, y \in \mathbb{C}^n$ に対して $||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ が成り立つならば、$\langle x, y \rangle = 0$ である。

(3) $n$ 次正方行列 $P$ がエルミート行列ならば、任意の $x \in \mathbb{C}^n$ に対して $\langle x, Px \rangle$ は実数である。

2. 解き方の手順

(1) 主張は正しいです。

証明: $A$ の階数が $n$ であるということは、$A$ の列ベクトルが線形独立であることを意味します。したがって、$Ax = 0$ を満たす $x \in \mathbb{C}^n$ は、$x$ の各成分がすべて $0$ である場合に限られます。つまり、$x = 0$ (自明な解) のみです。

(2) 主張は正しいです。

証明: 内積を $\langle x, y \rangle = x^* y$ で定義します。ただし、$x^*$ は $x$ の共役転置です。このとき、$||x||^2 = \langle x, x \rangle$ です。

$||x+y||^2 = \langle x+y, x+y \rangle = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = ||x||^2 + ||y||^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle$

$||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ であるから、$\langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle = 0$。

$\langle y, x \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}$ であるから、$\langle x, y \rangle + \overline{\langle x, y \rangle} = 0$。

つまり、$2Re(\langle x, y \rangle) = 0$。したがって、$Re(\langle x, y \rangle) = 0$。

ここで、$x$ を $ix$ に置き換えると、$||ix + y||^2 = ||ix||^2 + ||y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ であるから、同じ議論により $Re(\langle ix, y \rangle) = 0$。

$\langle ix, y \rangle = -i \langle x, y \rangle$ であるから、$Re(-i \langle x, y \rangle) = 0$。

$Re(-i \langle x, y \rangle) = Im(\langle x, y \rangle)$ であるから、$Im(\langle x, y \rangle) = 0$。

$Re(\langle x, y \rangle) = 0$ かつ $Im(\langle x, y \rangle) = 0$ であるから、$\langle x, y \rangle = 0$。

(3) 主張は正しいです。

証明: $P$ がエルミート行列であるとは、$P^* = P$ を満たすことです。

$\langle x, Px \rangle^* = (x^* Px)^* = x^* P^* (x^*)^* = x^* P^* x$ (スカラーに対する転置)

$P^* = P$ であるから、$x^* P^* x = x^* P x = \langle x, Px \rangle$。

$\langle x, Px \rangle^* = \langle x, Px \rangle$ であるから、$\langle x, Px \rangle$ は実数です。

3. 最終的な答え

(1) 正しい。$A$ の階数が $n$ に等しいならば、1次方程式系 $Ax=0$ は自明な解のみを持つ。

(2) 正しい。$x, y \in \mathbb{C}^n$ に対して $||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ が成り立つならば、$\langle x, y \rangle = 0$ である。

(3) 正しい。$n$ 次正方行列 $P$ がエルミート行列ならば、任意の $x \in \mathbb{C}^n$ に対して $\langle x, Px \rangle$ は実数である。