問題は3つの主張の真偽を判定し、正しい場合は証明を与え、正しくない場合は反例を挙げるものです。 (1) $m \geq n$ とし、$A$ を $m \times n$ 行列とする。$A$ の階数が $n$ に等しいならば、1次方程式系 $Ax = b$ は必ず解を持つ。 (2) $x, y \in \mathbb{C}^n$ に対して $||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ が成り立つならば、$(x|y) = 0$ である。 (3) $n$ 次正方行列 $P$ がエルミート行列ならば、任意の $x \in \mathbb{C}^n$ に対して $(x|Px)$ は実数である。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は3つの主張の真偽を判定し、正しい場合は証明を与え、正しくない場合は反例を挙げるものです。

(1) $m \geq n$ とし、$A$ を $m \times n$ 行列とする。$A$ の階数が $n$ に等しいならば、1次方程式系 $Ax = b$ は必ず解を持つ。

(2) $x, y \in \mathbb{C}^n$ に対して $||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ が成り立つならば、$(x|y) = 0$ である。

(3) $n$ 次正方行列 $P$ がエルミート行列ならば、任意の $x \in \mathbb{C}^n$ に対して $(x|Px)$ は実数である。

2. 解き方の手順

(1) の解答:

主張は正しくありません。反例を挙げます。

$A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $x = (x_1)$, $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} x_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$m = 2$, $n = 1$. $A$ は $2 \times 1$ 行列であり、rank $A = 1 = n$.

$Ax = b$ は $x_1 = 1$ かつ $0 = 1$ となるので解を持ちません。

(2) の解答:

$||x + y||^2 = (x + y|x + y) = (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y) = ||x||^2 + ||y||^2 + (x|y) + (y|x)$.

仮定より、 $||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ なので、

$||x||^2 + ||y||^2 + (x|y) + (y|x) = ||x||^2 + ||y||^2$.

したがって、 $(x|y) + (y|x) = 0$.

$(y|x) = \overline{(x|y)}$ であるから、 $(x|y) + \overline{(x|y)} = 0$.

これは $2\text{Re}(x|y) = 0$ を意味するので、 $\text{Re}(x|y) = 0$.

しかし、$(x|y) = 0$ とは限りません。

反例: $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $y = \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}$.

$(x|y) = 1 \cdot \overline{i} + 0 \cdot \overline{0} = -i \neq 0$.

$||x||^2 = 1$, $||y||^2 = 1$, $x + y = \begin{pmatrix} 1 + i \\ 0 \end{pmatrix}$.

$||x + y||^2 = (1 + i) \overline{(1 + i)} = (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 2 = 1 + 1 = ||x||^2 + ||y||^2$.

主張は正しくありません。

(3) の解答:

$P$ がエルミート行列なので、$P = P^*$.

$(x|Px) = \overline{(Px|x)} = \overline{(x|P^*x)} = \overline{(x|Px)}$.

$(x|Px) = \overline{(x|Px)}$ より、$(x|Px)$ は実数である。

主張は正しいです。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない。反例は、$A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $x = (x_1)$, $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(2) 正しくない。反例は、$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $y = \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}$.

(3) 正しい。証明は上記参照。