連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ で与えられている。 (1) $b \neq 0$ を示す。 (2) 解が上記のパラメータ表示で与えられるような $A$ と $b$ の例を1組挙げる。

1. 問題の内容

連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ で与えられている。

(1) $b \neq 0$ を示す。

(2) 解が上記のパラメータ表示で与えられるような $A$ と $b$ の例を1組挙げる。

2. 解き方の手順

(1) $b \neq 0$ の証明

パラメータ表示された解は、

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表されている。この解は $Ax = b$ を満たす。

ここで、$s = 0$, $t = 0$ とすると、$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり、$Ax = A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = b$ である。

また、$s = 1$, $t = 0$ とすると、$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり、$A \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = b$ である。

さらに、$s = 0$, $t = 1$ とすると、$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ であり、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = b$ である。

もし $b = 0$ ならば、$A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$, $A \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$, $A \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$ が成り立つはずである。

しかし、$s$ と $t$ は任意の値を取れるため、パラメータ表示から $x$ は一意に定まらず、$Ax = b$ の解は複数存在する。

もし $b=0$ ならば、$s$ と $t$ の値を適切に選べば、$x = 0$ となり、$A \times 0 = 0$ となり矛盾はしない。

しかし問題文は $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が解のパラメータ表示であると述べているので、$b=0$ の場合はありえない。なぜなら、もし $b=0$ なら、$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ は解の一つでなければならないが、必ずしもそうではないからである。したがって、$b \neq 0$ である。

(2) $A$ と $b$ の例

$A$ と $b$ の例を一つ挙げる。まず、$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が $Ax = 0$ の解となるように $A$ を定める。例えば、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とする。このとき、$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $Ax=0$ を満たす。

次に、$A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = b$ となるように $b$ を定める。$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ なので、

$b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

しかし、$b = 0$ は (1) で示された $b \neq 0$ に反する。

そこで、もう一つの例を考えてみる。

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

の形から、解の自由度は2であるとわかる。したがって、行列 $A$ のランクは $4-2=2$ 以下である。

ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = b$ は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}$

つまり、$x_1 = b_1, x_2 = b_2, 0 = b_3, 0 = b_4$ となる。

ここで、$x_1 = 1 + s + 2t$, $x_2 = 2 + 4s + t$, $x_3 = s$, $x_4 = t$ であるから、

$b_1 = 1 + s + 2t$, $b_2 = 2 + 4s + t$, $b_3 = 0$, $b_4 = 0$ となる。

$s$ と $t$ が任意なので、$b_1$ と $b_2$ も任意の値を取る。

しかし、$b$ は定数ベクトルなので、$s$ と $t$ に依存してはならない。したがって、$b_1$ と $b_2$ は定数である必要がある。

例えば、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = b$ は

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}$

つまり、$x_3 = b_1, x_4 = b_2, 0 = b_3, 0 = b_4$ となる。

$x_3 = s$, $x_4 = t$ であるから、$s = b_1$, $t = b_2$ となる。このとき、解は

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + b_1 + 2b_2 \\ 2 + 4b_1 + b_2 \\ b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

となる。

$b = A \begin{pmatrix} 1 + b_1 + 2b_2 \\ 2 + 4b_1 + b_2 \\ b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

この例も、$x$ が一意に定まらないため解としては不適切である。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x = \begin{pmatrix} 1 + s + 2t \\ 2 + 4s + t \\ s \\ t \end{pmatrix}$

$b = A x = \begin{pmatrix} 1+s+2t - (2+4s+t)/4 \\ s \\ t \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ s \\ t \\ 0 \end{pmatrix}$.

ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & -1/4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax=1/2$ は定数となり、$s, t$ に依存しない。しかし解空間が異なる。

3. 最終的な答え

(1) $b \neq 0$

(2) 例：$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ と $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この時、$A x = b$ の解は $x = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

ここで、$A x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} s \\ t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$b = (0,0,0,0)$ になるので条件を満たさない。

より適切な例は $A = \begin{pmatrix} 1 & -1/4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

このとき $A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2/4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = b$,

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4/4 - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$,

$A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1/4 - 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ は間違いです。

上記の $A$ も適切ではありません。なぜなら、$s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の部分は必ずゼロになる必要があるため、$s, t$ の係数の行列は $Ax = 0$ の解を持つ必要があります。

適切な例：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ と $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この場合、$A (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+s+2t \\ 2+4s+t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1+s+2t) -s-2t \\ (2+4s+t) -4s - t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となり成立する。