(1) 関数 $f(x, y) = \log_y x$ について、点 $(3, e^2)$ での $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ での $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = \log_y x$ について、点 $(3, e^2)$ での $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ での $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x, y) = \log_y x = \frac{\ln x}{\ln y}$ と書き換える。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\ln x}{\ln y}\right) = \frac{1}{\ln y} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\ln x}{\ln y}\right) = \ln x \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\ln y)^{-1} = \ln x \cdot (-1)(\ln y)^{-2} \cdot \frac{1}{y} = -\frac{\ln x}{y (\ln y)^2}$

点 $(3, e^2)$ での値を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{\ln (e^2)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{e^2 (\ln e^2)^2} = -\frac{\ln 3}{e^2 \cdot (2)^2} = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2)

まず、$f(x, y) = x^y$ を考える。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^y) = yx^{y-1}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (yx^{y-1}) = y(y-1)x^{y-2}$

点 $(1, e)$ での値を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e \cdot 1^{e-1} = e \cdot 1 = e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e(e-1) \cdot 1^{e-2} = e(e-1) \cdot 1 = e(e-1) = e^2 - e$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{6}$、$\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e$、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e^2 - e$