1から7までの数字が書かれた7枚のカードから3枚を抜き出し、小さい順に並べたとき、中央のカードの数を確率変数$X$とする。このとき、$X$の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれた7枚のカードから3枚を抜き出し、小さい順に並べたとき、中央のカードの数を確率変数$X$とする。このとき、$X$の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数$X$の取りうる値は2, 3, 4, 5, 6である。

次に、$X=k$となる確率$P(X=k)$を計算する。$X=k$となるのは、3枚のカードのうち1枚が$k$であり、残りの2枚のうち1枚が$1, 2, ..., k-1$のいずれか、もう1枚が$k+1, k+2, ..., 7$のいずれかである場合である。

全事象は7枚から3枚を選ぶので、${}_7C_3 = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$通り。

$P(X=k) = \frac{{}_{k-1}C_1 \times {}_{7-k}C_1}{{}_7C_3} = \frac{(k-1)(7-k)}{35}$

したがって、

$P(X=2) = \frac{1\times5}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

$P(X=3) = \frac{2\times4}{35} = \frac{8}{35}$

$P(X=4) = \frac{3\times3}{35} = \frac{9}{35}$

$P(X=5) = \frac{4\times2}{35} = \frac{8}{35}$

$P(X=6) = \frac{5\times1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

期待値$E(X) = \sum_{k=2}^6 kP(X=k) = 2\times\frac{5}{35} + 3\times\frac{8}{35} + 4\times\frac{9}{35} + 5\times\frac{8}{35} + 6\times\frac{5}{35} = \frac{10+24+36+40+30}{35} = \frac{140}{35} = 4$

$E(X^2) = \sum_{k=2}^6 k^2 P(X=k) = 2^2\times\frac{5}{35} + 3^2\times\frac{8}{35} + 4^2\times\frac{9}{35} + 5^2\times\frac{8}{35} + 6^2\times\frac{5}{35} = \frac{20+72+144+200+180}{35} = \frac{616}{35} = \frac{88}{5}$

分散$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{88}{5} - 4^2 = \frac{88}{5} - 16 = \frac{88-80}{5} = \frac{8}{5}$

標準偏差$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{40}{25}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

期待値は4、分散は$\frac{8}{5}$、標準偏差は$\frac{2\sqrt{10}}{5}$である。

ア = 4

イ = 8

ウ = 5

エ = 2

オカ = 10

キ = 5