与えられた行列 $ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & p \end{pmatrix} $ が正則であるための $p$ の条件を求め、正則であるとき、逆行列を $p$ を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

-2 & 3 & -3 \\

1 & -2 & 1 \\

4 & -4 & p

\end{pmatrix}

$$

が正則であるための $p$ の条件を求め、正則であるとき、逆行列を $p$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

行列が正則であるための条件は、行列式が0でないことです。したがって、与えられた行列の行列式を計算し、それが0にならないための $p$ の条件を求めます。

行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

-2 & 3 & -3 \\

1 & -2 & 1 \\

4 & -4 & p

\end{vmatrix}

= -2\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & p \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & p \end{vmatrix} -3\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{vmatrix}

$$

$$

= -2(-2p+4) - 3(p-4) - 3(-4+8)

= 4p - 8 - 3p + 12 - 12

= p - 8

$$

行列が正則であるためには、行列式が0でない必要があるので、

$p - 8 \neq 0$, つまり $p \neq 8$ である必要があります。

次に、逆行列を計算します。逆行列は余因子行列を転置したものを、行列式で割ったものです。

余因子行列は以下の通りです。

$$

C_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & p \end{vmatrix} = -2p+4

$$

$$

C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & p \end{vmatrix} = -(p-4) = 4-p

$$

$$

C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} = -4+8 = 4

$$

$$

C_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -4 & p \end{vmatrix} = -(3p-12) = 12-3p

$$

$$

C_{22} = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 4 & p \end{vmatrix} = -2p+12

$$

$$

C_{23} = -\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} = - (8-12) = 4

$$

$$

C_{31} = \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3-6 = -3

$$

$$

C_{32} = -\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2+3) = -1

$$

$$

C_{33} = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4-3 = 1

$$

余因子行列は

$$

\begin{pmatrix}

-2p+4 & 4-p & 4 \\

12-3p & -2p+12 & 4 \\

-3 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

転置行列は

$$

\begin{pmatrix}

-2p+4 & 12-3p & -3 \\

4-p & -2p+12 & -1 \\

4 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

逆行列は、転置行列を行列式で割ったものです。

$$

\frac{1}{p-8}

\begin{pmatrix}

-2p+4 & 12-3p & -3 \\

4-p & -2p+12 & -1 \\

4 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

行列が正則であるための $p$ の条件は $p \neq 8$ である。正則であるとき、逆行列は

$$

\frac{1}{p-8}

\begin{pmatrix}

-2p+4 & 12-3p & -3 \\

4-p & -2p+12 & -1 \\

4 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$