与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & p \end{pmatrix}$ が正則であるための $p$ の条件を求め、正則であるときに逆行列 $A^{-1}$ を $p$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & p \end{pmatrix}$ が正則であるための $p$ の条件を求め、正則であるときに逆行列 $A^{-1}$ を $p$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 行列式を計算する

行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は、その行列式 $\det(A)$ が 0 でないことです。そこで、$\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = -2 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & p \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & p \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{vmatrix}$

$\det(A) = -2(-2p - (-4)) - 3(p - 4) - 3(-4 - (-8))$

$\det(A) = -2(-2p + 4) - 3(p - 4) - 3(4)$

$\det(A) = 4p - 8 - 3p + 12 - 12$

$\det(A) = p - 8$

ステップ2: 正則である条件を求める

行列 $A$ が正則であるためには $\det(A) \neq 0$ である必要があります。

$p - 8 \neq 0$

$p \neq 8$

ステップ3: 余因子行列を求める

行列 $A$ の余因子行列 $C$ を求めます。

$C_{11} = (-2)p - (1)(-4) = -2p + 4$

$C_{12} = -(1p - 1(4)) = -p + 4$

$C_{13} = (1)(-4) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$

$C_{21} = -(3p - (-3)(-4)) = -3p - 12$

$C_{22} = (-2)p - (-3)(4) = -2p + 12$

$C_{23} = -((-2)(-4) - (3)(4)) = -(8 - 12) = 4$

$C_{31} = (3)(1) - (-3)(-2) = 3 - 6 = -3$

$C_{32} = -((-2)(1) - (-3)(1)) = -(-2 + 3) = -1$

$C_{33} = (-2)(-2) - (3)(1) = 4 - 3 = 1$

したがって、余因子行列 $C$ は

$C = \begin{pmatrix} -2p + 4 & -p + 4 & 4 \\ -3p - 12 & -2p + 12 & 4 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ4: 転置行列（余因子行列の転置）を求める

余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を求めます。

$C^T = \begin{pmatrix} -2p + 4 & -3p - 12 & -3 \\ -p + 4 & -2p + 12 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ5: 逆行列を求める

逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T$ で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{p - 8} \begin{pmatrix} -2p + 4 & -3p - 12 & -3 \\ -p + 4 & -2p + 12 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ が正則であるための条件は、$p \neq 8$ です。

正則であるときの逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{p - 8} \begin{pmatrix} -2p + 4 & -3p - 12 & -3 \\ -p + 4 & -2p + 12 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$