与えられた関数の微分を計算する問題です。 (1) $\frac{d}{dx}((\sin(x))^x)$ (2) $\frac{d}{dx}((\arcsin(x))^x)$

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を計算する問題です。

(1) $\frac{d}{dx}((\sin(x))^x)$

(2) $\frac{d}{dx}((\arcsin(x))^x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = (\sin(x))^x$とおきます。両辺の自然対数をとると、$\ln y = x \ln(\sin(x))$となります。

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln(\sin(x)) + x \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\sin(x)) + x \cot(x))$

$\frac{dy}{dx} = (\sin(x))^x (\ln(\sin(x)) + x \cot(x))$

(2) $y = (\arcsin(x))^x$とおきます。両辺の自然対数をとると、$\ln y = x \ln(\arcsin(x))$となります。

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln(\arcsin(x)) + x \frac{1}{\arcsin(x)}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\arcsin(x)) + \frac{x}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}})$

$\frac{dy}{dx} = (\arcsin(x))^x (\ln(\arcsin(x)) + \frac{x}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx}((\sin(x))^x) = (\sin(x))^x (\ln(\sin(x)) + x \cot(x))$

(2) $\frac{d}{dx}((\arcsin(x))^x) = (\arcsin(x))^x (\ln(\arcsin(x)) + \frac{x}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}})$