1から7までの数字が書かれた7枚のカードから3枚を引く。引いたカードを小さい順に並べたとき、中央のカードの数字を確率変数$X$とする。$X$の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれた7枚のカードから3枚を引く。引いたカードを小さい順に並べたとき、中央のカードの数字を確率変数$X$とする。$X$の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数$X$の取りうる値とその確率を求める。$X$は3, 4, 5の値を取りうる。

3枚のカードの選び方は全部で $\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$通りである。

* $X = 2$になるのはありえない。

* $X=3$となるのは、3, x, yのカードを選んだ場合。$X = 3$となるためには、3より小さいカードから1枚、3より大きいカードから1枚選ぶ必要がある。3より小さいカードは1, 2の2枚。3より大きいカードは4, 5, 6, 7の4枚。したがって、確率は$P(X=3) = \frac{\binom{2}{1} \binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{2 \cdot 4}{35} = \frac{8}{35}$

* $X=4$となるのは、x, 4, yのカードを選んだ場合。$X = 4$となるためには、4より小さいカードから1枚、4より大きいカードから1枚選ぶ必要がある。4より小さいカードは1, 2, 3の3枚。4より大きいカードは5, 6, 7の3枚。したがって、確率は$P(X=4) = \frac{\binom{3}{1} \binom{3}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{35} = \frac{9}{35}$

* $X=5$となるのは、x, 5, yのカードを選んだ場合。$X = 5$となるためには、5より小さいカードから1枚、5より大きいカードから1枚選ぶ必要がある。5より小さいカードは1, 2, 3, 4の4枚。5より大きいカードは6, 7の2枚。したがって、確率は$P(X=5) = \frac{\binom{4}{1} \binom{2}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{4 \cdot 2}{35} = \frac{8}{35}$

* $X=1$となるのはありえない。

* $X=6$となるのは、x, 6, yのカードを選んだ場合。$X = 6$となるためには、6より小さいカードから1枚、6より大きいカードから1枚選ぶ必要がある。6より小さいカードは1, 2, 3, 4, 5の5枚。6より大きいカードは7の1枚。したがって、確率は$P(X=6) = \frac{\binom{5}{1} \binom{1}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{5 \cdot 1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

* $X=7$となるのはありえない。

合計を確認すると$\frac{8}{35} + \frac{9}{35} + \frac{8}{35} + \frac{5}{35} = \frac{30}{35}$となるため、確率が間違っている。中央の値は2から6になる可能性がある。中央の値を$k$とすると、$k$より小さい数字から1枚、$k$より大きい数字から1枚を選べばよい。

* $P(X=2) = \frac{\binom{1}{1} \binom{5}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

* $P(X=3) = \frac{\binom{2}{1} \binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{8}{35}$

* $P(X=4) = \frac{\binom{3}{1} \binom{3}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{9}{35}$

* $P(X=5) = \frac{\binom{4}{1} \binom{2}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{8}{35}$

* $P(X=6) = \frac{\binom{5}{1} \binom{1}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

合計を確認すると$\frac{5}{35} + \frac{8}{35} + \frac{9}{35} + \frac{8}{35} + \frac{5}{35} = \frac{35}{35} = 1$となり、正しい。

(2) 期待値$E(X)$を求める。

$E(X) = 2 \cdot \frac{5}{35} + 3 \cdot \frac{8}{35} + 4 \cdot \frac{9}{35} + 5 \cdot \frac{8}{35} + 6 \cdot \frac{5}{35} = \frac{10 + 24 + 36 + 40 + 30}{35} = \frac{140}{35} = 4$

(3) 分散$V(X)$を求める。

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$

$E(X^2) = 2^2 \cdot \frac{5}{35} + 3^2 \cdot \frac{8}{35} + 4^2 \cdot \frac{9}{35} + 5^2 \cdot \frac{8}{35} + 6^2 \cdot \frac{5}{35} = \frac{20 + 72 + 144 + 200 + 180}{35} = \frac{616}{35} = \frac{88}{5}$

$V(X) = \frac{88}{5} - 4^2 = \frac{88}{5} - 16 = \frac{88 - 80}{5} = \frac{8}{5}$

(4) 標準偏差$\sigma(X)$を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{\sqrt{40}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

期待値は 4, 分散は $\frac{8}{5}$, 標準偏差は $\frac{2\sqrt{10}}{5}$である。