問題は、領域 $D = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1\}$ における以下の３つの３重積分を求めることです。 (1) $\iiint_D dxdydz$ (2) $\iiint_D x dxdydz$ (3) $\iiint_D (1 - x - y) dxdydz$

1. 問題の内容

問題は、領域 $D = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1\}$ における以下の３つの３重積分を求めることです。

(1) $\iiint_D dxdydz$

(2) $\iiint_D x dxdydz$

(3) $\iiint_D (1 - x - y) dxdydz$

2. 解き方の手順

領域 $D$ は $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1 - x$, $0 \leq z \leq 1 - x - y$ で表せるので、３重積分を累次積分で計算します。

(1) $\iiint_D dxdydz$

まず、$z$ で積分します。

$\int_0^{1-x-y} dz = 1-x-y$

次に、$y$ で積分します。

$\int_0^{1-x} (1-x-y) dy = [(1-x)y - \frac{1}{2}y^2]_0^{1-x} = (1-x)^2 - \frac{1}{2}(1-x)^2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$

最後に、$x$ で積分します。

$\int_0^1 \frac{1}{2}(1-x)^2 dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (1-2x+x^2) dx = \frac{1}{2} [x-x^2+\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{2} (1-1+\frac{1}{3}) = \frac{1}{6}$

(2) $\iiint_D x dxdydz$

まず、$z$ で積分します。

$\int_0^{1-x-y} x dz = x(1-x-y)$

次に、$y$ で積分します。

$\int_0^{1-x} x(1-x-y) dy = x \int_0^{1-x} (1-x-y) dy = x [(1-x)y - \frac{1}{2}y^2]_0^{1-x} = x [(1-x)^2 - \frac{1}{2}(1-x)^2] = \frac{1}{2}x(1-x)^2 = \frac{1}{2}x(1-2x+x^2) = \frac{1}{2}(x-2x^2+x^3)$

最後に、$x$ で積分します。

$\int_0^1 \frac{1}{2}(x-2x^2+x^3) dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4]_0^1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{6-8+3}{12}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{12}) = \frac{1}{24}$

(3) $\iiint_D (1 - x - y) dxdydz$

まず、$z$ で積分します。

$\int_0^{1-x-y} (1-x-y) dz = (1-x-y)^2$

次に、$y$ で積分します。

$\int_0^{1-x} (1-x-y)^2 dy = [-\frac{1}{3}(1-x-y)^3]_0^{1-x} = -\frac{1}{3}(0^3) + \frac{1}{3}(1-x)^3 = \frac{1}{3}(1-x)^3$

最後に、$x$ で積分します。

$\int_0^1 \frac{1}{3}(1-x)^3 dx = [-\frac{1}{12}(1-x)^4]_0^1 = -\frac{1}{12}(0) + \frac{1}{12}(1) = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{1}{24}$

(3) $\frac{1}{12}$