与えられた3つの関数の微分を計算する問題です。 (1) $\frac{d}{dx} ((\sin(x))^x)$ (2) $\frac{d}{dx} ((\arcsin(x))^x)$ (3) $\frac{d}{dx} ((1+x)^{x^{-1}})$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の微分を計算する問題です。

(1) $\frac{d}{dx} ((\sin(x))^x)$

(2) $\frac{d}{dx} ((\arcsin(x))^x)$

(3) $\frac{d}{dx} ((1+x)^{x^{-1}})$

2. 解き方の手順

(1) $y = (\sin(x))^x$ の微分

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln ((\sin(x))^x) = x \ln(\sin(x))$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\sin(x)) + x \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \ln(\sin(x)) + x \cot(x)$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\sin(x)) + x \cot(x)) = (\sin(x))^x (\ln(\sin(x)) + x \cot(x))$

(2) $y = (\arcsin(x))^x$ の微分

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln ((\arcsin(x))^x) = x \ln(\arcsin(x))$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\arcsin(x)) + x \cdot \frac{1}{\arcsin(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\arcsin(x)) + \frac{x}{\arcsin(x) \sqrt{1-x^2}}) = (\arcsin(x))^x (\ln(\arcsin(x)) + \frac{x}{\arcsin(x) \sqrt{1-x^2}})$

(3) $y = (1+x)^{x^{-1}}$ の微分

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln ((1+x)^{x^{-1}}) = x^{-1} \ln(1+x)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -x^{-2} \ln(1+x) + x^{-1} \cdot \frac{1}{1+x} = -\frac{\ln(1+x)}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)}$

$\frac{dy}{dx} = y (-\frac{\ln(1+x)}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)}) = (1+x)^{x^{-1}} (-\frac{\ln(1+x)}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} ((\sin(x))^x) = (\sin(x))^x (\ln(\sin(x)) + x \cot(x))$

(2) $\frac{d}{dx} ((\arcsin(x))^x) = (\arcsin(x))^x (\ln(\arcsin(x)) + \frac{x}{\arcsin(x) \sqrt{1-x^2}})$

(3) $\frac{d}{dx} ((1+x)^{x^{-1}}) = (1+x)^{x^{-1}} (-\frac{\ln(1+x)}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)})$