ある高校の生徒140人を対象に、国語、数学、英語の得意不得意を調査した結果が与えられています。その結果を用いて、3教科すべてが得意な人の数と、3教科中1教科のみが得意な人の数を求める問題です。

## 数学の問題

1. 問題の内容

ある高校の生徒140人を対象に、国語、数学、英語の得意不得意を調査した結果が与えられています。その結果を用いて、3教科すべてが得意な人の数と、3教科中1教科のみが得意な人の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、集合の記号を定義します。

* A: 国語が得意な人の集合

* B: 数学が得意な人の集合

* C: 英語が得意な人の集合

* U: 全体集合

与えられた情報を集合の記号で表すと、以下のようになります。

* $n(U) = 140$

* $n(A) = 86$

* $n(B) = 40$

* $n(A \cap B) = 18$

* $n(A \cap C) = 15$

* $n(A \cup C) = 101$

* $n(B \cup C) = 55$

* どの教科も得意でない人の数 = $n(\overline{A \cup B \cup C}) = 20$

ここで、$n(A \cup B \cup C) = n(U) - n(\overline{A \cup B \cup C}) = 140 - 20 = 120$

$n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C)$より、$101 = 86 + n(C) - 15$となり、$n(C) = 101 - 86 + 15 = 30$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、$55 = 40 + 30 - n(B \cap C)$となり、$n(B \cap C) = 40 + 30 - 55 = 15$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$120 = 86 + 40 + 30 - 18 - 15 - 15 + n(A \cap B \cap C)$

$120 = 16 - 18 - 15 - 15 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 120 - 128 = 120 - 128 + 48 - n(A \cap B \cap C)$

$120= 86 + 40 + 30 - 18 - 15 -15 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 120 - 86 - 40 - 30 + 18 + 15 + 15 = 120 - 156 + 48 = 12$

したがって、3教科すべてが得意な人数は12人。

次に、1教科のみが得意な人数を求める。

$n(Aのみ) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$n(Bのみ) = n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$n(Cのみ) = n(C) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

しかし、これは間違いです。

$$$$

\begin{aligned}

&n(A \text{のみ}) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) \\

&n(B \text{のみ}) = n(B) - n(B \cap A) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \\

&n(C \text{のみ}) = n(C) - n(C \cap A) - n(C \cap B) + n(A \cap B \cap C)

\end{aligned}

$$$$

1教科のみ得意な人の合計は、

$n(Aのみ) + n(Bのみ) + n(Cのみ)= n(A) + n(B) + n(C) - 2[n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C)] + 3n(A \cap B \cap C)$

$= 86 + 40 + 30 - 2(18 + 15 + 15) + 3 * 12 = 156 - 2(48) + 36 = 156 - 96 + 36 = 96$

3. 最終的な答え

3教科すべてが得意な人数は12人であり、3教科中1教科のみが得意な人数は96人である。