1から7までの自然数が書かれた7枚のカードから3枚を抜き出し、小さい順に並べたとき、中央のカードの数を確率変数$X$とする。このとき、$X$の期待値、分散、標準偏差を求める。

1. 問題の内容

1から7までの自然数が書かれた7枚のカードから3枚を抜き出し、小さい順に並べたとき、中央のカードの数を確率変数$X$とする。このとき、$X$の期待値、分散、標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$の取りうる値は2, 3, 4, 5, 6である。それぞれの値を取る確率を計算する。

3枚のカードの選び方は全部で $_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通りである。

* $X=2$となるのは、1と3, 4, 5, 6, 7から1枚を選ぶとき。選び方は$_5C_1 = 5$通り。したがって、$P(X=2) = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

* $X=3$となるのは、1, 2から1枚と4, 5, 6, 7から1枚を選ぶとき。選び方は$_2C_1 \times _4C_1 = 2 \times 4 = 8$通り。したがって、$P(X=3) = \frac{8}{35}$

* $X=4$となるのは、1, 2, 3から1枚と5, 6, 7から1枚を選ぶとき。選び方は$_3C_1 \times _3C_1 = 3 \times 3 = 9$通り。したがって、$P(X=4) = \frac{9}{35}$

* $X=5$となるのは、1, 2, 3, 4から1枚と6, 7から1枚を選ぶとき。選び方は$_4C_1 \times _2C_1 = 4 \times 2 = 8$通り。したがって、$P(X=5) = \frac{8}{35}$

* $X=6$となるのは、1, 2, 3, 4, 5から1枚と7を選ぶとき。選び方は$_5C_1 = 5$通り。したがって、$P(X=6) = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

期待値$E(X)$は、

$E(X) = 2 \times \frac{1}{7} + 3 \times \frac{8}{35} + 4 \times \frac{9}{35} + 5 \times \frac{8}{35} + 6 \times \frac{1}{7} = \frac{10+24+36+40+30}{35} = \frac{140}{35} = 4$

分散$V(X)$は、

$E(X^2) = 2^2 \times \frac{1}{7} + 3^2 \times \frac{8}{35} + 4^2 \times \frac{9}{35} + 5^2 \times \frac{8}{35} + 6^2 \times \frac{1}{7} = \frac{20+72+144+200+180}{35} = \frac{616}{35} = \frac{88}{5}$

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \frac{88}{5} - 4^2 = \frac{88}{5} - 16 = \frac{88-80}{5} = \frac{8}{5}$

標準偏差$\sigma(X)$は、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

期待値：4

分散：8/5

標準偏差：$2\sqrt{10}/5$