与えられた関数を時間 $t$ で微分する問題です。関数は以下の通りです。 $\frac{d}{dt}(e^{-pt} \times (\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt}))$

1. 問題の内容

与えられた関数を時間 $t$ で微分する問題です。関数は以下の通りです。

$\frac{d}{dt}(e^{-pt} \times (\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt}))$

2. 解き方の手順

まず、積の微分公式を使います。積の微分公式は $\frac{d}{dt}(uv) = u'v + uv'$ です。ここで、 $u = e^{-pt}$ 、 $v = (\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt})$ とします。

$u$ の微分は、

$\frac{du}{dt} = -p e^{-pt}$

$v$ の微分は、

$\frac{dv}{dt} = \alpha (iw)e^{iwt} + \beta (-iw)e^{-iwt} = iw(\alpha e^{iwt} - \beta e^{-iwt})$

したがって、積の微分公式より、

$\frac{d}{dt}(e^{-pt} (\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt})) = -p e^{-pt} (\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt}) + e^{-pt} (iw(\alpha e^{iwt} - \beta e^{-iwt}))$

$= e^{-pt}[ -p(\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt}) + iw (\alpha e^{iwt} - \beta e^{-iwt}) ]$

$= e^{-pt} [ (-p + iw)\alpha e^{iwt} + (-p - iw)\beta e^{-iwt} ]$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dt}(e^{-pt} (\alpha e^{iwt} + \beta e^{-iwt})) = e^{-pt} [ (-p + iw)\alpha e^{iwt} + (-p - iw)\beta e^{-iwt} ]$