ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 110$、$S_{20} = 420$ を満たすとき、この数列の初項、公差、および $S_{30}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 110$、$S_{20} = 420$ を満たすとき、この数列の初項、公差、および $S_{30}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とすると、$S_n$ は次のように表される。

$S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$

$S_{10} = 110$ より

$\frac{10}{2}(2a + 9d) = 110$

$5(2a + 9d) = 110$

$2a + 9d = 22$ ...(1)

$S_{20} = 420$ より

$\frac{20}{2}(2a + 19d) = 420$

$10(2a + 19d) = 420$

$2a + 19d = 42$ ...(2)

(2) - (1) より

$(2a + 19d) - (2a + 9d) = 42 - 22$

$10d = 20$

$d = 2$

(1) に $d = 2$ を代入して

$2a + 9(2) = 22$

$2a + 18 = 22$

$2a = 4$

$a = 2$

したがって、初項は $a=2$、公差は $d=2$ である。

$S_{30}$ を求める。

$S_{30} = \frac{30}{2}(2a + 29d)$

$S_{30} = 15(2(2) + 29(2))$

$S_{30} = 15(4 + 58)$

$S_{30} = 15(62)$

$S_{30} = 930$

3. 最終的な答え

初項は 2、公差は 2 であり、$S_{30} = 930$ である。