関数 $f(x) = |x^2 - 9| - 3|x-2| - 2$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ のグラフを描きます。 (2) 実数 $k$ に対して、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x^2 - 9| - 3|x-2| - 2$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ のグラフを描きます。

(2) 実数 $k$ に対して、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = f(x)$ のグラフを描きます。

まず、$|x^2 - 9|$ と $|x-2|$ の絶対値を外します。

$x^2 - 9 = 0$ となるのは $x = \pm 3$ のときです。

$x-2 = 0$ となるのは $x = 2$ のときです。

場合分けをして考えます。

(i) $x < -3$ のとき：

$f(x) = x^2 - 9 - 3(2-x) - 2 = x^2 + 3x - 17$

(ii) $-3 \le x < 2$ のとき：

$f(x) = -(x^2 - 9) - 3(2-x) - 2 = -x^2 + 3x + 1$

(iii) $2 \le x < 3$ のとき：

$f(x) = -(x^2 - 9) - 3(x-2) - 2 = -x^2 - 3x + 13$

(iv) $3 \le x$ のとき：

$f(x) = x^2 - 9 - 3(x-2) - 2 = x^2 - 3x - 5$

これらの場合について、それぞれの範囲におけるグラフを描きます。

頂点の座標を求めるために、それぞれ平方完成します。

(i) $x^2 + 3x - 17 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 17 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{77}{4}$

(ii) $-x^2 + 3x + 1 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

(iii) $-x^2 - 3x + 13 = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 13 = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{61}{4}$

(iv) $x^2 - 3x - 5 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 5 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{29}{4}$

(2) $y = f(x)$ と $y = k$ の共有点の個数

(1)で描いたグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数を数えます。グラフを描かないと個数を求めることができません。

$f(-3) = -9 - 9 + 1 = -8 + 1 = -8$

$f(2) = -4 + 6 + 1 = 3$

$f(3) = -9 - 9 + 13 = -5$

共有点の個数は$k$の値によって変わります。

グラフを描いた状態で、以下のようになります。

$k < -8$のとき、0個

$k = -8$のとき、1個

$-8 < k < -5$のとき、2個

$k = -5$のとき、3個

$-5 < k < 3$のとき、4個

$k = 3$のとき、3個

$3 < k < \frac{13}{4}$のとき、4個

$k = \frac{13}{4}$のとき、3個

$\frac{13}{4} < k < \frac{61}{4}$のとき、2個

$k = \frac{61}{4}$のとき、1個

$\frac{61}{4} < k$のとき、0個

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略。

(2)

$k < -8$のとき、0個

$k = -8$のとき、1個

$-8 < k < -5$のとき、2個

$k = -5$のとき、3個

$-5 < k < 3$のとき、4個

$k = 3$のとき、3個

$3 < k < \frac{13}{4}$のとき、4個

$k = \frac{13}{4}$のとき、3個

$\frac{13}{4} < k < \frac{61}{4}$のとき、2個

$k = \frac{61}{4}$のとき、1個

$\frac{61}{4} < k$のとき、0個