3重積分 $\iiint_D z \, dx \, dy \, dz$ を、領域 $D = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, z \geq 0\}$ 上で計算します。

1. 問題の内容

3重積分 $\iiint_D z \, dx \, dy \, dz$ を、領域 $D = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, z \geq 0\}$ 上で計算します。

2. 解き方の手順

変数変換を用いて3重積分を計算します。領域 $D$ は原点を中心とする半径1の球の上半分なので、球座標変換を用いるのが適切です。

球座標変換は次の通りです。

$x = r \sin \theta \cos \phi$

$y = r \sin \theta \sin \phi$

$z = r \cos \theta$

ここで、$0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, $0 \leq \phi \leq 2\pi$ です。

ヤコビアンは、$J = r^2 \sin \theta$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\iiint_D z \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} (r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} r^3 dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin(2\theta) \, d\theta = \left[ -\frac{1}{4} \cos(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4}(-1 - 1) = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$

したがって、

$\iiint_D z \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$