$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16(1+\theta x)^{\frac{5}{2}}}$ (ただし、$0 < \theta < 1$) の式を用いて、$\sqrt{2}$ の近似値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16(1+\theta x)^{\frac{5}{2}}}$ (ただし、$0 < \theta < 1$) の式を用いて、$\sqrt{2}$ の近似値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1+x}$ で $\sqrt{2}$ を求めるためには、$x=1$ を代入します。

$\sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16(1+\theta)^{\frac{5}{2}}}$

$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16(1+\theta)^{\frac{5}{2}}}$

ここで、$\frac{1}{16(1+\theta)^{\frac{5}{2}}}$ は誤差項です。近似値を求めたいので、この誤差項を無視します。

$\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}$

$\sqrt{2} \approx 1 + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = 1 + \frac{3}{8}$

$\sqrt{2} \approx \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} \approx \frac{11}{8}$