曲線 $y = \log x$ の接線で、点 $A(0, -2)$ を通るものを求める問題です。接点の座標は $(a, \log a)$ とします。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ の接線で、点 $A(0, -2)$ を通るものを求める問題です。接点の座標は $(a, \log a)$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log x$ を微分すると、

$y' = \frac{1}{x}$

となります。

(2) 点 $(a, \log a)$ における接線の傾きは、

$f'(a) = \frac{1}{a}$

となります。

(3) 点 $(a, \log a)$ における接線の方程式は、

$y - \log a = \frac{1}{a} (x - a)$

となります。

(4) 上記の式を整理すると、

$y = \frac{1}{a} x - 1 + \log a$

となります。

(5) この接線が点 $A(0, -2)$ を通るので、

$-2 = \frac{1}{a} \cdot 0 - 1 + \log a$

すなわち、

$-2 = -1 + \log a$

となります。

(6) 上記の式を整理すると、

$\log a = -1$

となります。

(7) これより、$a$ は

$a = e^{-1} = \frac{1}{e}$

となります。

(8) よって、接線の方程式は、

$y = \frac{1}{\frac{1}{e}} x - 1 + \log \frac{1}{e}$

$y = ex - 1 - 1$

$y = ex - 2$

となります。

3. 最終的な答え

$y = ex - 2$