与えられた連立方程式を逆行列を用いて解く問題です。 (1) $\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を逆行列を用いて解く問題です。

(1)

$\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

連立方程式 $Ax = b$ を解くには、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める必要があります。そして、$x = A^{-1}b$ を計算します。

(1)

まず、行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式を計算します。

$det(A) = 5(1-2) - (-2)(-3+4) + 2(3-2) = -5 + 2 + 2 = -1$

次に、余因子行列を計算します。

$C = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \end{bmatrix}$

転置して、

$C^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = -1 \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

$x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+0+6 \\ -1+0+12 \\ 1+0-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}$

(2)

まず、行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式を計算します。

$det(A) = 4(0+1) - 1(0+1) + (-1)(5-3) = 4 - 1 - 2 = 1$

次に、余因子行列を計算します。

$C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & 7 \end{bmatrix}$

転置して、

$C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 7 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 7 \end{bmatrix}$

$x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a - b + 2c \\ -a + b - c \\ 2a - 3b + 7c \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$x_1 = 5, x_2 = 11, x_3 = -2$

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}$

(2)

$x_1 = a - b + 2c, x_2 = -a + b - c, x_3 = 2a - 3b + 7c$

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a - b + 2c \\ -a + b - c \\ 2a - 3b + 7c \end{bmatrix}$