3x4行列Aの第j列ベクトルを $a_j$ (j=1,2,3,4)とします。行列Aの階数が2のとき、以下の量を求めます。 (a) 行列Aの線形独立な列ベクトルの最大数 (b) 行列 $(a_1, a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4)$ の階数 (c) 行列 $(a_1, a_2)$ の階数 (d) 行列 $(a_1, a_2, e_1, e_2)$ の階数 (e) 行列 $(a_1, a_2, e_1, e_2, e_3)$ の階数 ここで、$e_j$ は3次元の第j単位列ベクトルを表します(j=1,2,3)。

1. 問題の内容

3x4行列Aの第j列ベクトルを $a_j$ (j=1,2,3,4)とします。行列Aの階数が2のとき、以下の量を求めます。

(a) 行列Aの線形独立な列ベクトルの最大数

(b) 行列 $(a_1, a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4)$ の階数

(c) 行列 $(a_1, a_2)$ の階数

(d) 行列 $(a_1, a_2, e_1, e_2)$ の階数

(e) 行列 $(a_1, a_2, e_1, e_2, e_3)$ の階数

ここで、$e_j$ は3次元の第j単位列ベクトルを表します(j=1,2,3)。

2. 解き方の手順

(a) 行列Aの階数が2であるので、線形独立な列ベクトルの最大数は2です。

(b) 行列の階数は、その列ベクトルの線形独立なものの最大数に等しいです。

与えられた行列は $(a_1, a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4)$ です。

$a_1+a_2 - a_1 = a_2$

$a_2+a_3 - a_2 = a_3$

$a_3+a_4 - a_3 = a_4$

なので、$a_2, a_3, a_4$ は $a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4$ の線形結合で表されます。

よって、この行列の列空間は $a_1, a_2, a_3, a_4$ で生成される列空間に含まれています。

したがって、この行列の階数は、行列Aの階数以下である必要があります。

また、$a_1$と$a_1+a_2$が線形独立である場合は階数は2となります。

$a_1$と$a_1+a_2$が線形従属な場合、つまり$a_2=0$の時は、他の線形独立なベクトルが存在するかどうかで階数が1か2か決まります。

そのため、一般的には階数が定まらず*となります。

(c) 行列 $(a_1, a_2)$ の階数は、0, 1, 2のいずれかの可能性があります。$a_1=a_2=0$なら0, $a_1$と$a_2$が線形従属なら1、線形独立なら2となります。

行列Aの階数が2であることだけからは一意に定まらないので、* となります。

(d) $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり、$a_1, a_2$ は3次元ベクトルで行列Aの列ベクトルなので、e1とe2は $a_1, a_2$ と線形独立である可能性があります。

$a_1, a_2$ が線形独立ならば $(a_1, a_2, e_1, e_2)$ の階数は、最低でも2、最大で4となります。しかし3x4の行列なので、階数は最大でも3です。 $a_1, a_2$ の張る空間に $e_1, e_2$ が含まれるかどうかで変わるため、定まりません。よって * となります。しかし、$a_1$と$a_2$が線形独立でない場合、階数は1か2になります。もし$a_1=a_2=0$なら、階数は2になります。しかし、$a_1, a_2$のどちらかが0でない場合は階数は3になります。よって、この場合も階数は定まらないので*となります。

(e) $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$であり、$a_1, a_2$ は3次元ベクトルなので、$a_1, a_2, e_1, e_2, e_3$ は3次元空間を張ります。

したがって、これらのベクトルで構成される行列 $(a_1, a_2, e_1, e_2, e_3)$ の階数は3となります。

3. 最終的な答え

(a) 2

(b) *

(c) *

(d) *

(e) 3